Un insieme di vettori $v_n \in V$ generano $V$ se:
$$
\forall v \in V \\
\exists (a_1, a_2, \dots, a_n); \\
v = a_1v_1 + a_2v_2 + \dots + a_nv_n \\
$$
Per esempio dati
$$
i = (1, 0) \\
j = (0, 1) \\
$$
Tutti i vettori in $R^2$ possono essere scritti come
$$
v = ai + aj
$$
Questo vale in tutto $R^n$. I versori fondamentali di $R^n$ presi insieme sono anche generatori di $R^n$.
Ma possono esistere anche altri genratori.
$$
a_1 = (1, 1), a_2 = (1, 0) \\
(\alpha, \beta) = aa_1 + b_b1 \\
a + b = \alpha \\
a = \beta \\
b = \alpha - beta \\
(3, 5) = 5a_1 + -2a_2 = (5, 5) + (-2, 0) = (3, 5) \\
$$
Posso avere un numero di generatori maggiore di n in $R^n$
$$
v_1 = (1, 1) \\
v_2 = (1, 0) \\
v_3 = (0, 1) \\
$$
Posso sempre trovare $(a_1, a_2, a_3)$ per generare ogni vettore di $R^n$.
Anzi per ogni vettori ho infinite sequenze $a_n$ che lo generano.
E' importante notare la grande differenza fra i generatori di questi due esempi.
Nel primo caso ogni vettore è identifcato da una e una sola sequenza di coefficenti.
Nel secondo caso ogni vettore è identificato da infintie sequenze di coefficenti.
Un insieme di vettori $(v_1, v_2, \dots, v_n)$ è base di $V$ se:
Cioè se generano ogni vettore di $V$ con una e unica sequenza di coefficenti.
Quindi è facile vedere che l'insieme dei versori fondamentali è base dell'insieme $R^n$ su cui sono costruiti.
Degli esempi precedenti anche
$$
a = (1, 1) \\
b = (1, 0) \\
$$
sono basi di $R^2$ perchè sono l.i. e generano $R^2$.
Dato un vettore $v \in V$ e una base $v_n$ di $V$.
La sequenza $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ dei coefficenti della combinazione lineare di $v_n$ che genera $v$ sono detti Componenti di $v$ rispetto alla base $v_n$.
Quindi una base dipende anche dall'ordine dei vettori che la compongono.
Due gruppi di vettori con ordini diversi sono basi diverse dello stesso insieme.
I componenti di un vettore rispetto a una base saranno diversi dai componenti se l'ordine dei vettori della base cambia.
Dato un inieme di vettori $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ generatori di uno spazio vettoriale $V$.
Dati $(y_1, y_2, \dots, y_n)$ lineramente indipendenti in $V$.
Allora $n \le m$.
Cioè un insieme di vettori indipendenti avrà un numero di elementi sempre minore o uguale al numero di vettore di qualunque base.
Come corollario:
Le basi di uno spazio vettoriale hanno tutte lo stesso numero di elementi.
Dato che tutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi, questa proprietà è specifica dello spazio vettoriale non della base.
Quindi viene definita Dimensione di uno spazio vettoriale il numero di elementi di una qualunque base dello spazio vettoriale stesso.
Quindi qualunque spazio vettoriale del tipo $R^n$ sarà uguale a $n$.
Dato che posso trovare una base di $R^n$ trovando i suoi versori fondamentali, e questi sono sempre $n$, allora la dimensione dello spazio vettoriale sarà $n$.
Dato $V$ uno spazio vettoriale di dimension $n$:
Dato $W$ sottospazio di $V$ allora.
$$
\dim{W} \le \dim{V} \\
0 \le \dim{W} \le \dim{V} \\
\dim{W} = 0; W = \{0_v\} \\
\dim{W} = \dim{V}; W = V
$$
Uno spazio vettoriale vene definito come:
$$
V, W = \mathscr{L}(v_1, \dots, v_m)
$$
Per trovare una base parto da un sistema di generatori.
$$
(v_1, v_2, \dots, v_n)
$$
Elimino tutti gli elementi nulli e scarto partendo dal secondo tutti i vettori combinazioni lineare dei precedenti.
Alla fine otterrò un insieme di generatori che sono anche l.i., cioè una base dello spazio vettoriale.
Scarto i nulli (cioè nessuno)
Prendo il primo $v_1$ e lo pongo nella base
Prendo il secondo $v_2$ e lo tengo perchè non è multiplo di $v_1$
Il terzo lo scarto perchè è combinazione lineare di $v_1$ e $v_2$
Quindi una base di $V$ è
$$
v_1 = (1, 1) \\
v_2 = (1, 0)
$$
Dato uno spazio $V$ e non ci interessa la base.
Dati
$$
w_1, w_2, \dots, 2_n \text{ l.i}
$$
Voglio trovare una base che utilizzi questi vettori.
Creo un nuovo elenco di vettori aggiungendo ai precedenti i generatori
$$
w_1, w_2, \dots, w_n, v_1, v_2, \dots, v_n
$$
Questo sarà un gruppo di genertori di $V$.
Applico quindi il metodo degli scarti tenendo nella base i miei vettori $w_n$ che sò gia essere linearmente dipendenti e scartando tutti i vettori della base originaria che risultaranno l.i. alla mia nuova base.
In [ ]: